(はてな記法に切り替えたため再更新)
【炎上ラーニング記事です。ココ間違ってるぞバカ,アホなどの指摘,いただけたら嬉しく思います】
工学系大学にいる以上,学び続けるものなので,せっかくならばとまとめていってみる。こういった理系学問は,既に様々な解説サイトがあるので今更という感じではあるのだが,自分の表現力・理解力強化という目的のために頑張ろうと思う。ほかの科目でも取り組みたいところではある。
ただ,せっかく作るのならばと,なんとか他のサイトとは異なったアプローチを取りたいとは思っているので,そこも頑張りたい。
まあ,3日坊主になる可能性もあるけどな!!!!!
(でもテスト前だけでも自分にとって役に立ちそうな気がするのです。)
古典力学(Classical Mechanics)とは何か
日常的な物体の様々な動きを,誰が見ても同じ結果になるように,「数学」という言葉を用いて分析・考察する学問。
ここで日常的というワードを使ったのは,いわゆる目に見える,日常我々が観測するような物体の動きを分析する力学を古典力学といい,目に見えない,非常に小さな物体の運動を分析する力学を量子力学といって両者を区別して扱うからである。
座標系の必要性
ところで,物体の運動を観測するには何が必要だろうか?例えば,自分がりんごを手から落として,そのりんごが地面に落下するまでの時間を調べたいと思ったとする。当然ながら,そこで物体の運動を観測するのにまず必要なのは,りんごの位置だ。その時,あなたならどうやってりんごの位置を定める?これも当然すぎるかも知れないが,ほとんどの人はおそらく地面を基準にして,りんごの位置を決定するだろう。
このように,物体の位置を決定する時には,かならず他の物体の位置を基準に取る必要がある。これは,非常に重要な考え方だ。
宇宙空間に漂うりんご(またりんごか)を思い浮かべるとわかりやすいかもしれない。近くに何もない真っ暗闇な空間にポツンと浮かんでいるりんご,このりんごの位置をどうやって決めよう?他の何か(恒星,惑星,銀河)を基準に取らなければ,りんごの位置を決定することができない。位置関係を知ることができなければ,りんごの速度も,加速度も,調べられない!
このように,物体の運動を観測するには物体の位置が必要になる。そして,物体の位置を決めるためには,他の物体による基準が必要となる。
座標が必要になるモチベーションは,これに尽きる。座標にはいろいろな種類があるが,どれも原点Oを基準として物体の位置を定めている。座標系を定めるモチベーションが分かったところで,主要な座標系をまとめる。
いろいろな座標系
座標系とは何のためにあるのでしょうか。
デカルト座標
高校物理や,高校数学で出会いまくった,いわゆる普通の座標系がこの
デカルト座標系である。
2次元
3次元
n次元
極座標
おそらく高校の数3で少し出てくるハズだ。この座標系は,物体の位置を座標で表す代わりに,動径と角度を用いて表す。そういう表示をすることによって,デカルト座標系では計算の難しい問題をいとも簡単に解くことが出来たりする。
2次元
3次元
n次元
さて,座標系は用意した。それで,あなたがこの現実世界の物体の動きの振る舞いを調べようと思ったら,まずどうする?物体の位置は,とりあえず地球の地面ということにしておこう。これで位置の問題は考えなくていい。
「でも,物体の動きなんていったって,いろんなモノがあるし,いろんな方向に運動したりするし,複雑だし・・・,そんなのわからないよ!」
その通りだ。世の中には様々な物体があるし,運動もとっても複雑だ。いきなり全てを解決しようなんてとんでもない。今でも出来ていないのに。じゃあどうすればいいかって?そういう時は,問題をわざとカンタンにするんだ。
運動をモデル化し,場合分けする
運動を分析するには,数学的なモデルを立てる必要があります。
物体の運動を考えようにも,世の中にはさまざまなカタチの物体があるし,その物体の性質(弾力,粘着力,硬度)はさまざまだ。それに,物体の運動といってもいろんな種類がある。上に投げたり,下に投げ下ろしたり,斜めに投げてみたり,空気抵抗を受けたり,ばねが関わってきたり。いきなりそんな複雑な要素を考え始めてもどうしようもない。まずは一番簡単なところから始めるよりほかはない。ではどうするか?
ひとまずは,これで手を打とう。状況を簡単にするために,物体の大きさやカタチを無視して,質点という一点にモノの質量が全てつまった理想的な物体を考えてみる。さらに,現実に起こりうるさまざまな状況を場合わけして,一つずつしらみつぶしで当たっていく。もちろん,より複雑な問題を考える時には,物体の大きさやカタチを考慮したまま解析を行う。さしあたっての簡潔化だ。高校で物理を履修した人は,このような簡潔なモデルを何度も何度も繰り返し解く練習をしてきたハズだ。
座標の取り方によって,運動方程式は形を変えます。
少しややこしくなる。
2次元
3次元
というのも,
極座標においては時間変化とともに刻々と基底ベクトルの向きが変わって行くからである。ゆえに,
微分が少々ややこしくなる。ここでは,幾何的に
極座標の位置の
微分を求め,
運動方程式を導出してみる。
運動量保存則(Conservation of Momentum)
運動量保存則は,どのようにして導き出されるのでしょうか。
重心(The Center of Mass)
角運動量(Angular of Momentum)
角運動量とはなんなのでしょうか。
物体の位置をr,運動量をpとした時,物体の
角運動量lは次のように位置と運動量の
外積として表される。
例
角運動量を
微分すると,第一項は0になる。なぜなら,位置ベクトルの
微分は速度であるから,方向が運動量ベクトルと平行になる。
外積の定義より,これは明らかに0になる。
これによって,
角運動量を
微分した量は,以下の式で表され,これをトルクと呼ぶ。その式から,トルクは位置と力の
外積である。
単純な運動(落下・放物運動)
空気抵抗のある運動 (一次の抵抗力)
一次の抵抗力が働く運動について分析します。
空気抵抗のある運動 (二次の抵抗力)
二次の抵抗力が働く運動について分析します。
二次の抵抗力が働く運動について考察する。
x軸方向
この
運動方程式をどんどん解いて行く。
t=0のときの速度を,初速度V0として,
積分定数を書き換える。
t秒の時のx軸方向の速度
積分してx軸方向の位置を求める。
t=0のときの初期位置を考えて,
積分定数を処理する。
t秒の時のx軸方向の位置
y軸方向
変数分離をして,どんどん解いて行く。
ここで,分母に二次の項が現れるので,
積分をするために部分分数展開を行う。
さらに
積分を行い,絶対値が現れる。
ゴチャゴチャ整理をして,頑張って求める。
t秒の時のy軸方向の速度を求めた。
ロケットの運動